Оглавление
- Тема: «Планиметрия»
- Независимые события
- Метод группировки
- Теория к заданию 4 из ЕГЭ по математике (профильной)
- Противоположные события
- Независимые события
- Несовместные события
- Совместные события
- Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
- Несовместные события
- Показательные уравнения
- Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
- Основные правила дифференцирования
- Физический смысл производной
- Геометрический смысл производной
- Планиметрия. Углы.
- Поиск точек экстремума
- Задачи для практики
Тема: «Планиметрия»
За это задание вы можете получить 1 балл на ЕГЭ в 2022 году
Задача 1
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=3$, $\cos A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Задача 2
Найдите угол $ACO$, если его сторона $AC$ касается окружности, $O$ — центр окружности, сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.), а дуга $AD$ окружности, заключенная внутр…
Задача 3
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $√ {3}:2$.
Задача 4
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ {2}$?
Задача 5
В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AB=15$ и $\tg ∠ BAC={2√ {5}} / {5}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Задача 6
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна стороне $BC$, $AB=12$ и $\tg ∠ BAC={3√ {7}} / {7}$ (см. рис.). Найдите высоту $AH$.
Задача 7
Два угла треугольника равны $48^°$ и $64^°$ (см. рис.). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Задача 8
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\tg A=0{,}7$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Задача 9
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=10$, $\tg A=0{,}3$ (см. рис.). Найдите $BC$.
Задача 10
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=4√ {7}$, $\tg A={√ {3}} / {2}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Задача 11
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $3√ {7}$ и $12√ {7}$.
Задача 12
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC=9$, $\sin A={4} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Задача 13
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, катет $AC=16$, $\sin A={3} / {5}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Задача 14
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=12$, $\cos A={6} / {7}$ (см. рис.). Найдите $AB$.
Задача 15
Площадь треугольника ABC равна 76, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
Задача 16
Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на первую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Задача 17
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $26°$, угол $B$ равен $82°$, $CD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$, причём точка $D$ лежит на прямой $AB$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ выбрана…
Задача 18
В треугольнике ABC угол A равен $65°$, угол C равен $53°$. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в гр…
Задача 19
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $48°$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложен отрезок $BD$, равный стороне $BC$. Найдите угол $D$ треугольника $BCD$, если угол $ACB$ равен $62°$. Ответ дай…
Задача 20
Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 50, а её боковые стороны равны 17. Найдите площадь трапеции.
1
…
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Метод группировки
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Пример:
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Решение:
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками. $2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
Далее из каждой группы вынесем общий множитель
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.
Теория к заданию 4 из ЕГЭ по математике (профильной)
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы ?, ln(…), log(…), ?, sin?, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ
Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ
Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Показательные уравнения
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n·a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n∙m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Виды показательных уравнений:
1. Простые показательные уравнения:
а) Вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.
$f(x)=g(x)$
b) Уравнение вида $a^{f(x)}=b, b>0$
Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается
$log_{a}a^{f(x)}=log_{a}b$
$f(x)=log_{a}b$
2. Метод уравнивания оснований.
3. Метод разложения на множители и замены переменной.
- Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.
- Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t > 0$.
- Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
- Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.
Пример:
Решите уравнение $2^{3x}-7·2^{2x-1}+7·2^{x-1}-1=0$
Решение:
По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.
$(2^x)^3-{7·(2^x)^2}/{2}+{7·2^x}/{2-1}=0$
Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$
Получаем кубическое уравнение вида
$t^3-{7·t^2}/{2}+{7·t}/{2}-1=0$
Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей
$2t^3-7·t^2+7·t-2=0$
Разложим левую часть уравнения методом группировки
$(2t^3-2)-(7·t^2-7·t)=0$
Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$
$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$
Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов
$2(t-1)(t^2+t+1)-7t(t-1)=0$
Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед
$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$
Решим первое уравнение
$t_1=1$
Решим второе уравнение через дискриминант
$2t^2-5t+2=0$
$D=25-4·2·2=9=3^2$
$t_2={5-3}/{4}={1}/{2}$
$t_3={5+3}/{4}=2$
Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения
$2^x=1; 2^x={1}/{2}; 2^x=2$
$2^x=2^0; 2^x=2^{-1}; 2^x=2^1$
$х_1=0; х_2=-1; х_3=1$
Ответ: $-1; 0; 1$
4. Метод преобразования в квадратное уравнение
- Имеем уравнение вида $А·a^{2f(x)}+В·a^{f(x)}+С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
- Делаем замену $a^{f(x)}=t, t > 0$.
- Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
- Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.
Способы разложения на множители:
Вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:
- Определить общий множитель.
- Разделить на него данный многочлен.
- Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).
Пример:
Разложить на множители многочлен: $10a^{3}b-8a^{2}b^2+2a$.
Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:
$10a^{3}b-8a^{2}b^2+2а=2a({10a^{3}b}/{2a}-{8a^{2}b^2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a^{2}b-4ab^2+1)$
Это и есть конечный результат разложения на множители.
Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Планиметрия. Углы.
Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике — решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.
Центральный и вписанный углы:
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
- Выполняем рисунок.
- Определяем вид угла.
- Применяем свойство вписанных углов и вычисляем искомый угол.
- Записываем ответ.
Решение:
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Площадь треугольника ABC равна 152. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Алгоритм решения:
- Устанавливаем подобие треугольников.
- Используем свойство площадей подобных треугольников.
- Записываем ответ.
Решение:
1. DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.
2. Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, следовательно, площадь треугольника CDE в раза меньше, чем площадь треугольника ABC. Имеем:
152 / 4 = 38
Третий вариант задания (из Ященко, №23)
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 36°, угол CAD равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
- Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
- Используем свойство вписанных углов.
- Находим угол АВС.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.
2. Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются.
Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 36∙2=72, второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 52∙2=104.
3. Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=72+104=176, а угол АВС, который на нее опирается, определяется как половина величины дуги: 176:2=88.
Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)
Угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D и Е, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
- Вычисляем угол BDA.
- Определяем величину угла ADC,
- Рассматриваем треугольник ADC, определяем искомый угол.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Вычислим угол BDA. Он вписан в окружность, опирается на дугу AB. Тогда по свойству вписанных углов, его градусная мера равна половине градусной величины дуги AB. Тогда .
2. Рассматриваем угол ADC. Он смежный с углом BDA, значит,
3. Рассматриваем треугольник ADC. В нем известны два угла. По свойству суммы углов треугольника третий угол DAC можно найти так:
Из рисунка видно, что угол DAC совпадает с углом DAE, следовательно, угол DAE тоже равен 15.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Задачи для практики
Задача 1
Найдите значение выражения $\log_5 27 ⋅ \log_3 25$.
Решение
$ log_5 3^3· log_3 5^2 = 3 log_5 3 · 2 log_3 5 $
Воспользуемся свойством: $log _b (a)= 1/{log _a (b)}$
$6 · log_5 3 · {1}/{log_5 3} = 6$.
Ответ: 6
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 2
Найдите значение выражения $ {14} / {\sin^2 25°+ \cos^2 205°}$.
Решение
Учитывая, что $cos(180° + 25) = — cos 25$,
$cos^2 (180° + 25) = (- cos 25°)⋅(- cos 25°)=cos^2 25°$
получим ${14}/{sin^2 25° + cos^2 (180° + 25°)} = {14}/{sin^2 25° + cos^2 25°} = 14$.
Ответ: 14
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 3
Найдите значение выражения $ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 123°}$.
Решение
Учитывая, что $cos(90°+α)=-sinα$, получим:
$cos^2 (123°)=cos^2 (90°+33°)=(-sin 33°)⋅(-sin 33°)=sin^2 33°$, таким образом
$ {5} / {\cos^2 33°+ \cos^2 (90°+33°)}= {5} / {\cos^2 33°+ \sin^2 33°}= 5$.
Ответ: 5
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 4
Найдите значение выражения ${18(\sin^2 16°- \cos^2 16°)} / {\cos 32°}$.
Решение
Применив формулу двойного аргумента $cos 2α = cos^2 α — sin^2 α$, получим
$cos 32°=cos^2 16° — sin^2 16°$
${18(sin^2 16° — cos^2 16°)}/{cos^2 16° — sin^2 16°} = {18(sin^2 16° — cos^2 16°)}/{-( sin^2 16°-cos^2 16° )}=-18$.
Ответ: -18
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 5
Найдите значение выражения $(1-\log_3 18)(1-\log_6 18)$.
Решение
$(log__3 3 — log_3 18)(log_6 6 — log_6 18) = log_3 {1}/{6} · log_6 {1}/{3} = log_3 6^(-1) · log_6 3^(-1) = log_3 6 · log_6 3 = log_3 6 · 1/(log_3 6) = 1$.
Ответ: 1
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 6
Найдите значение выражения $ {\log_{3} 36} / {2+\log_{3} 4}$.
Решение
$ {\log_{3} (9⋅4)} / {2+\log_{3}4} ={\log_{3} 9+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} ={2+\log_3 4} / {2+\log_{3}4} =1$.
Ответ: 1
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 7
Найдите значение выражения $ \log_2 (\log_5 625)$.
Решение
$log_2(log_5 5^4) = log_2 4 = 2$.
Ответ: 2
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 8
Найдите значение выражения ${7^{\log_5 50}} / {7^{\log_{5}2 }}$.
Решение
${7^{log_5(2·25)}}/{7^{log_5 2}} = {7^{log_5 2+log_5 25}}/{7^{log_5 2}} = 7^{log_ 5 2+log_5 5^2 -log_ 5 2} = 7^2 = 49$.
Ответ: 49
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 9
Найдите значение выражения ${\log_7 23} / {\log_{49}23} $.
Решение
${\log_7 23} / {\log_{7^2}23} ={\log_7 23} / {{1} / {2}\log_{7 }23}=2$.
Ответ: 2
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 10
Найдите значение выражения ${15 \cos 19°} / {\cos341°}$.
Решение
Применив формулу приведения $cos(360° -α) = cosα$, получим ${15cos19°}/{cos(360° — 19°)} = {15cos19°}/{cos19°} = 15$.
Ответ: 15
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 11
Найдите значение выражения ${3 \cos 39°} / {\sin51°}$.
Решение
Применив формулу приведения $sin(90° -α) = cosα$, получим ${3cos39°}/{sin(90° — 39°)} = {3 cos 39°}/{cos 39°} = 3$.
Ответ: 3
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 12
Найдите значение выражения ${15√ {x}-3} / {√ {x}}+{3√ {x}} / {x}+2x-8$ при $x=3$.
Решение
${15√x}/{√x} — {3}/{√x} + {3√x}/{(√x)^2} + 2x — 8 = 15 — {3}/{√x} + {3}/{√x} + 2x — 8 = 7 + 2x$.
При $x = 3$ получим $7 + 2·3 = 13$.
Ответ: 13
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 13
Найдите значение выражения ${f(x+3)} / {f(x-3)}$, если $f(x)=5^x$.
Решение
$f(x)=5^x$ ${f(x+3)}/{f(x-3)}={5^{x+3}}/{5^{x-3}}=5^6=15 625$
Ответ: 15625
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 14
Найдите значение выражения $(√ {23} — √ {15})(√ {23}+√ {15})$.
Решение
$(√{23} — √{15})(√{23} + √{15}) = (√{23})^2 — (√{15})^2 = 23 — 15 = 8$.
Ответ: 8
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 15
Найдите значение выражения ${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}$.
Решение
${6^{3√2+2}·6^{2√2}}/{6^{5√2-1}}=6^{3√2+2+2√2-(5√2-1)} = 6^{5√2+2-5√2+1} = 6^3 = 216$.
Ответ: 216
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 16
Найдите значение выражения $8^{3√ {5}-1}⋅ 8^{1-√ {5} }: 8^{2√ {5}-1}$.
Решение
$8^{(3√5-1)+(1-√5)-(2√5-1)} = 8^1 = 8$.
Ответ: 8
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 17
Найдите значение выражения $6x⋅(2x^9)^4:{(4x^{12})}^3$ при $x=5$.
Решение
$6x·(2x^9)^4 : (4^3 · (x^{12})^3) = 6x · (2^4 · x^{36}) : ((2^2)^3 · x^{36}) = {6x · 2^4 · x^{36}}/{2^6·x^{36}} = {6x}/{4} = 1.5x$.При $х=5$, $1.5·х=1.5·5=7.5$
Ответ: 7.5
Показать решение
Бесплатный интенсив
Задача 18
Найдите значение выражения $x⋅5^{2x+1}⋅ 25^{-x}$ при $x=3$.
Решение
$x⋅5^{2x+1}⋅ (5^2)^{-x}=x⋅5^{2x+1-2x}=x⋅5$. При $x=3$ получим $3⋅5=15$.
Ответ: 15
Показать решение
Бесплатный интенсив
Решение
$tgβ={sinβ}/{cosβ}=-5$$ sinβ=-5cosβ$$ (3sinβ+15cosβ−8)/(sinβ+5cosβ+2)=(3⋅(-5cosβ)+15cosβ-8)/(-5cosβ+5cosβ+2)=(-15cosβ+15cosβ-8)/2=-8/2=-4$
Ответ: -4
Показать решение
Бесплатный интенсив
Показать еще
